第 7 章 BAS案例二:龙门起重机运动控制

由群友李晓晓同学提供案例。

7.1 问题背景

龙门起重机（gantry crane），如图7.1所示，是水平桥架设置在两条支腿上构成门架形状的一种桥架型起重机。起重小车trolley在桥架上运行，利用绳索（cable）一类的柔性体连接负载（load）。在负载的输送过程中，load的摆动问题一直是影响吊车装运效率提高的一大难题。

图 7.1: 龙门起重机示意

模型可以简化为图7.2。重物通过绳索与小车相连，小车在外力的作用下水平运动，小车质量为M（kg），重物的质量为m（kg），绳索的长度为r（m），\(\theta\)为摆角，x表示水平方向上的位移。

图 7.2: 龙门起重机模型

7.2 优化问题抽象

优化的变量为bang-coast-bang控制中，\(x = [tp_1,tp_2,tf]^T\)，两个给予脉冲加速度激励的时段以及全部的作业时间，以此来使得负载的摆角（优化目标）最小。

取小车的位置x，摆角\(\theta\)作为系统的广义坐标系。小车和负载在t时刻的位置坐标如式(7.1)所示。

\[\begin{equation} \begin{cases} x_M(t)&=\quad x(t)\\ y_M(t)&=\quad 0 \\ x_m(t)&=\quad x(t)+rsin\theta(t)\\ t_m(t)&=\quad -rco\theta(t) \end{cases} \tag{7.1} \end{equation}\]

因此，对\(t\)求导，得到小车和负载的速度分量如式(7.2)所示。

\[\begin{equation} \begin{cases} \dot{x}_M(t) &=\quad \dot{x}_t\\ \dot{y}_M(t) &=\quad 0\\ \dot{x}_m(t) &=\quad \dot{x}(t)+r\dot{\theta}(t)cos\theta(t)\\ \dot{y}_m(t) &=\quad r\dot{\theta}(t)sin\theta(t) \end{cases} \tag{7.2} \end{equation}\]

系统动能如式(7.3)：

\[\begin{equation} \begin{split} T = &\frac{1}{2}MV_M^2(t) + \frac{1}{2}mV_m^2(t) \\ =&\frac{1}{2}M(\dot{x}_M^2(t)+\dot{y}_M^2(t))+\frac{1}{2}m(\dot{x}_m^2(t)+\dot{y}_m^2(t))\\ =&\frac{1}{2}M\dot{x}_M^2(t) + \frac{1}{2}m\dot{x}_m^2(t) + \\ &\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2(t) + mr\dot{x}(t)\dot{\theta}(t)cos\theta(t) \end{split} \tag{7.3} \end{equation}\]

势能如式(7.4)：

\[\begin{equation} P = -mgrcos\theta(t) \tag{7.4} \end{equation}\]

通过式(7.4)和式(7.3)，我们可以得到拉格朗日方程，即\(L = T -P\)。根据欧拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrangian equation)，龙门起重机的动力学模型如式(7.5)所示。

\[\begin{equation} \frac{d}{dt}[\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_k}}}] - \frac{\partial{L}}{\partial{q_k}}=Q_k, \quad k=1,\cdots,n \tag{7.5} \end{equation}\]

其中，\(n\)表示系统的自由度，\(\{q_1,\cdots,q_n\}\)表示广义坐标集合，\(\{Q_1,\cdots,Q_n\}\)表示广义的驱动力（对应于各自的广义坐标）。把摆角作为广义坐标，可以得到式(7.6)。

\[\begin{equation} \frac{d}{dt}[\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\theta}}}] - \frac{\partial{L}}{\partial{\theta}}=0 \tag{7.6} \end{equation}\]

第一项为\(mr^2\ddot{\theta}(t)+mr\ddot{x}(t)cos\theta(t)\)，第二项为\(-mgrsin\theta(t)\)，代入式(7.6)中可以得到\(\theta\)的求解方程，即式(7.7)。

\[\begin{equation} \ddot{\theta}(t)=-\frac{\ddot{x}(t)cos\theta(t)+gsin\theta(t)}{r} \tag{7.7} \end{equation}\]

通过求解该方程，我们可以得到我们的优化目标。

7.3 优化理论

优化理论为二阶BAS算法。李晓晓同学给出的参数是，\(w_0 = 0.7\)， \(w_1 = 0.2\)。当然，文档中对于不同的目标函数可能有不同的调参结果，大家可以自行调试。

7.4 优化结果

表 7.1: 实验参数取值
Parameter	Description	Values
\(c\)	Constant	5
\(\lambda\)	Step length ratio	0.95
\(\gamma\)	Penalty coefficient	\(10^{50}\)
\(n\)	Number of iterations	1000
\(r\)	Height of crane	20(m)
\(h\)	Load displacement	40(m)